La programmazione lineare è un metodo mediante il quale viene ottimizzata una funzione obiettivo, massimizzando o minimizzando, in cui le variabili vengono elevate alla potenza di 1. Ciò, tenendo conto delle diverse restrizioni date.
La programmazione lineare, quindi, è un processo mediante il quale una funzione lineare sarà massimizzata. Cioè, un'equazione di primo grado, in cui le variabili sono elevate alla potenza di 1.
Dobbiamo ricordare che questo tipo di equazione è un'uguaglianza matematica che può avere una o più incognite. Pertanto, ha la seguente forma di base, dove a e b sono le costanti, mentre x e y sono le variabili.
ax + b = y
Ora, attraverso la programmazione lineare, questa funzione potrebbe essere ottimizzata, trovando il valore massimo o minimo di y. Questo, tenendo conto che x è soggetto a determinate restrizioni. Forse è maggiore di 0 e minore di 20, per esempio.
Elementi di programmazione lineare
Gli elementi principali della programmazione lineare sono i seguenti:
- Funzione obiettivo: È la funzione che viene ottimizzata, massimizzando o minimizzando il suo risultato.
- Restrizioni: Sono quelle condizioni che devono essere soddisfatte quando si ottimizza la funzione obiettivo. Possono essere equazioni o disuguaglianze algebriche.
Esercizio di programmazione lineare
Vediamo, per finire, un esercizio di programmazione lineare.
Supponiamo di avere la seguente funzione, che esprime il beneficio che una persona ottiene acquistando determinati prodotti, essendo l'utilità U e i prodotti x e y.
U = 4x + 7y
Allo stesso modo, l'individuo affronta una restrizione di bilancio, con il suo budget di 70 unità monetarie (cu) e i prezzi dei prodotti xey sono rispettivamente di 6 e 14 cu.
70≥6x + 14y
In questo caso, se graficiamo le funzioni, ci accorgeremo che la massima utilità si ha quando la persona acquista solo il bene x (11 unità), avendo quindi un'utilità di 44 (4 × 11 + 0x7). Invece, se acquisti 9 unità di x e 1 di y, ad esempio, il tuo profitto sarebbe 42 (9 × 4 + 1 × 7). Nel frattempo, se spendi tutto in buoni y, potresti comprare solo 5, il che ti darebbe un profitto di 35 (4 × 0 + 5 × 7).
Vale la pena ricordare che, nel grafico sopra, la linea grigia è una delle curve di indifferenza.
A questo punto dobbiamo anche ricordare che i beni x e y possono assumere solo valori interi.
Il caso presentato può essere quello di due beni che soddisfano lo stesso bisogno, ad esempio la fame. Tuttavia, uno di questi, il bene x, pur offrendo un'utilità leggermente inferiore, è meno costoso, con un prezzo di CU6, mentre il buon y costa più del doppio di CU14.
Per massimizzare la funzione obiettivo, puoi utilizzare strumenti online che ti permettono di inserire l'equazione lineare e le rispettive restrizioni, dando automaticamente il risultato.