Il prodotto scalare di due vettori secondo la sua definizione geometrica è la moltiplicazione dei loro moduli per il coseno dell'angolo formato da entrambi i vettori.
In altre parole, il prodotto scalare di due vettori è fare il prodotto dei moduli di entrambi i vettori e il coseno dell'angolo.
Formula del prodotto scalare
Dati due vettori, il prodotto scalare viene calcolato come segue:
Si chiama prodotto scalare perché il risultato del modulo sarà sempre uno scalare, così come lo sarà anche il coseno di un angolo. Il risultato di questa moltiplicazione sarà un numero che esprime una grandezza e non ha direzione. In altre parole, il risultato del prodotto scalare sarà un numero, non un vettore. Pertanto, esprimeremo il numero risultante come un numero qualsiasi e non come un vettore.
Per conoscere la grandezza di ciascun vettore, viene calcolato il modulo. Quindi, se moltiplichiamo la grandezza di uno dei vettori (v) per la grandezza dell'altro vettore (a) per il coseno dell'angolo che entrambi formano, sapremo quanto misurano in totale i due vettori.
Il modulo del vettore (v) per il coseno dell'angolo è noto anche come proiezione del vettore v sul vettore a.
Scopri un altro modo per calcolare il prodotto scalare di due vettori
Processi
- Calcola i moduli dei vettori.
Dato un qualsiasi vettore di tre dimensioni,
La formula per calcolare il modulo di un vettore è:
Ogni pedice del vettore indica le dimensioni, in questo caso il vettore (a) è un vettore tridimensionale perché ha tre coordinate.
2. Calcola il coseno dell'angolo.
Esempio del prodotto scalare di due vettori
Calcola il prodotto scalare dei seguenti vettori tridimensionali sapendo che l'angolo che formano è di 45 gradi.
Per calcolare il prodotto scalare dobbiamo prima calcolare il modulo dei vettori:
Una volta calcolati i moduli dei due vettori e conosciuto l'angolo, non ci resta che moltiplicarli:
Pertanto, il prodotto scalare dei vettori precedenti è 1.7320 unità.
Grafico
I seguenti vettori apparirebbero in un grafico tridimensionale sarebbero i seguenti:
Per il vettore (c) possiamo vedere che la componente z è zero, quindi sarà parallela all'asse delle ascisse. Invece, la componente z del vettore (b) è positiva, quindi possiamo vedere come ha pendenza verso l'alto. Entrambi i vettori sono nel quadrante dei positivi in termini di componente, poiché è positivo ed è lo stesso.