Modulo di un vettore e teorema di Pitagora

Il modulo di un vettore è la lunghezza di un segmento orientato in uno spazio determinato da due punti e dal loro ordine.

In altre parole, il modulo di un vettore è la lunghezza tra l'inizio e la fine del vettore, cioè dove inizia e dove finisce la freccia.

Dato un qualsiasi vettore bidimensionale:

L'informazione che ci danno le coordinate del vettore, cioè vx e vy, è la sua lunghezza per l'asse x e la sua lunghezza per l'asse y, rispettivamente.

Quindi se conosciamo le coordinate possiamo calcolare il modulo del vettore.

Modulo di un vettore e teorema di Pitagora

Il disegno precedente non ti ricorda una figura geometrica?

Esatto, possiamo immaginare che gli assi coordinati accanto al vettore formino un rettangolo con base vx e altezza vy. Possiamo dividere questo rettangolo in due triangoli simmetrici, cioè avranno entrambi la stessa base e la stessa altezza.

Il triangolo ombreggiato in blu ha base vx e altezza vy. Quindi, conoscendo questa informazione possiamo conoscere la sua ipotenusa. Esiste un teorema molto famoso noto come teorema di Pitagora che viene utilizzato per questi calcoli.

Dimostrazione

Sappiamo che la formula pitagorica è la seguente:

Dove h è l'ipotenusa, c è una gamba e c è un'altra gamba.

Nel nostro caso sappiamo quanto valgono le nostre gambe, ovvero la base e l'altezza. Quindi, possiamo inserire queste informazioni nell'equazione:

Procediamo a rimuovere il quadrato di h applicando la radice quadrata:

Se diciamo che vx = 3 e vy = 6:

Pertanto, se v fosse un vettore con coordinate (3,6), allora sapremmo che il suo modulo è 6,7082. Esatto, il suo modulo, perché la formula per il modulo di qualsiasi vettore v è:

Vediamo che proprio l'informazione che ci manca nell'equazione coincide con l'ipotenusa. In altre parole, la lunghezza del vettore è quella che vogliamo calcolare e l'ipotenusa è la diagonale del triangolo. Pertanto, possiamo concludere che l'utilizzo del teorema di Pitagora per calcolare il modulo del vettore è un metodo valido.

Quindi se dobbiamo calcolare il modulo di un vettore e non ricordiamo la formula, possiamo pensare al teorema di Pitagora e risolvere il problema.

Esercizio risolto

Calcola il modulo del vettore v con coordinate (-3, -6) applicando il teorema di Pitagora.

Anche il modulo del vettore v con coordinate (-3,6) calcolato dalla formula del teorema di Pitagora è 6,7082.