Gli insiemi infiniti sono quelli che contengono una quantità illimitata di elementi. Cioè, quelli che si estendono all'infinito.
In altre parole, un insieme infinito è l'opposto di un insieme finito, che ha un numero limitato o limitato di elementi.
Va notato che il fatto che un insieme sia infinito non significa che non sia numerabile. Per capire questo punto, diamo un'occhiata all'esempio dell'insieme dei numeri naturali interi, che è infinito, ma è numerabile, poiché è possibile identificare l'elemento 1, 2, 3, ecc.
Da un altro punto di vista, un insieme M è infinito quando non può essere accoppiato con un altro insieme (1, 2,…, n), che chiameremo N. Quest'ultimo è una sequenza di interi dove ogni elemento è uguale al precedente uno, più unità.
Più formalmente si dice che non esiste corrispondenza biunivoca tra l'insieme M e l'insieme N, quest'ultimo essendo finito.
Inoltre, va notato che M e N non sono equipotenti. Cioè, per ogni elemento di M non c'è nessun elemento di N.
Esempi di insiemi infiniti
Alcuni esempi di insiemi infiniti sono i seguenti:
- La quantità di granelli di sabbia su una spiaggia.
- Interi dispari maggiori di 13.
- Le gocce d'acqua che il mare contiene.
- I multipli di 10.
Proprietà dell'insieme infinito
Le proprietà degli insiemi infiniti sono le seguenti:
- L'unione degli insiemi A e B è un insieme infinito, purché uno di questi insiemi, A o B, sia infinito.
- Qualsiasi insieme che ha un insieme infinito come sottoinsieme è anche un insieme infinito.
- L'insieme delle potenze di un insieme infinito è, a sua volta, infinito. In questo senso, bisogna ricordare che l'insieme delle potenze di un insieme M comprende tutti i sottoinsiemi che possono essere formati con gli elementi di detto insieme, compreso l'insieme nullo o ∅. Ad esempio, se abbiamo:
(7, 13, 58)
Il set di potenza sarebbe: (∅, (7,13), (7,58), (13,58), (7), (13), (58), (7,13,58))
