Teoria degli insiemi - Che cos'è, definizione e concetto
La teoria degli insiemi è una branca della matematica (e della logica) dedicata allo studio delle caratteristiche degli insiemi e delle operazioni che possono essere eseguite tra di loro.
Cioè, la teoria degli insiemi è un'area di studio focalizzata sugli insiemi. Pertanto, ha il compito di analizzare sia gli attributi che possiedono sia le relazioni che possono essere stabilite tra loro. Cioè, la sua unione, intersezione, complemento o altro.
Dobbiamo ricordare che un insieme è un raggruppamento di elementi, siano essi numeri, lettere, parole, funzioni, simboli, figure geometriche o altro.
Per determinare un insieme si definisce solitamente la caratteristica che accomuna i suoi elementi. Ad esempio, un insieme A con i numeri interi, positivi e pari inferiori a 20.
A = (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18)
Storia della teoria degli insiemi
La storia della teoria degli insiemi può essere fatta risalire al lavoro di Georg Cantor, matematico tedesco di origine russa, considerato il padre di questa disciplina.
Tra gli argomenti che Cantor ha studiato, ad esempio, spicca quello degli insiemi infiniti e degli insiemi numerici.
Il primo lavoro di Cantor sulla teoria degli insiemi risale al 1874. Inoltre, vale la pena ricordare che ebbe un frequente scambio di idee con il matematico Richard Dedekind, che contribuì allo studio dei numeri naturali.
Insiemi numerici
Gli insiemi numerici sono i diversi raggruppamenti in cui i numeri sono classificati in base alle loro diverse caratteristiche. È una costruzione astratta che ha un'importante applicazione in matematica.
Gli insiemi numerici sono complessi, immaginari, reali, irrazionali, razionali, interi e naturali e possono essere illustrati nel seguente diagramma di Venn:
Numeri complessiNumeri immaginariNumeri realiNumeri irrazionaliNumeri razionalinumeri interiNumeri naturali
Algebra degli insiemi
L'algebra degli insiemi comprende le relazioni che si possono stabilire tra loro.
Si distinguono quindi le seguenti operazioni:
- Unione di insiemi: L'unione di due o più insiemi contiene ogni elemento che è contenuto in almeno uno di essi.
- Intersezione di insiemi: L'intersezione di due o più insiemi include tutti gli elementi che questi insiemi condividono o hanno in comune.
- Impostare la differenza: La differenza di un insieme rispetto a un altro è uguale agli elementi del primo insieme meno gli elementi del secondo.
- Set complementari: Il complemento di un insieme include tutti gli elementi che non sono contenuti in quell'insieme (ma che appartengono ad un altro insieme di riferimento).
- Differenza simmetrica: La differenza simmetrica di due insiemi include tutti gli elementi che si trovano nell'uno o nell'altro, ma non in entrambi allo stesso tempo.
- Prodotto cartesiano: È un'operazione che si traduce in un nuovo insieme. Contiene come elementi le coppie ordinate o le tuple (serie ordinate) degli elementi che appartengono a due o più insiemi. Sono coppie ordinate se sono due insiemi e tuple se sono più di due insiemi.
