La regola di Laplace è un metodo che consente di calcolare rapidamente il determinante di una matrice quadrata di dimensione 3 × 3 o maggiore mediante una serie di espansione ricorsiva.
In altre parole, la regola di Laplace fattorizza la matrice iniziale in matrici a dimensione inferiore e regola il suo segno in base alla posizione dell'elemento nella matrice.
Questo metodo può essere eseguito utilizzando righe o colonne.
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La formula della regola di Laplace
Data una matrice Zmxn qualsiasi dimensione mxn,dove m = n, si espande rispetto alla i-esima riga, quindi:
- Dijè il determinante ottenuto eliminando la i-esima riga e la i-esima colonna di Zmxn.
- Mijè la io, j-th Di meno. Il determinante Dijin funzione di Mijsi chiama i, j-th cofattoredella matrice Zmxn.
- per è l'impostazione del segno della posizione.
Esempio teorico della regola di Laplace
noi definiamo PER3×3 Che cosa:
- Iniziamo con il primo elemento a11. Grattugiamo le righe e le colonne che compongono11. Gli elementi che rimarranno senza grata, saranno la prima determinante Di meno moltiplicato per a11.
2. Continuiamo con il secondo elemento della prima riga, cioè to12. Ripetiamo il processo: grattugiamo le righe e le colonne che contengono12.
Regoliamo il segno del minore:
Aggiungiamo il secondo determinante Di menoal risultato precedente e formiamo una serie di espansione tale che:
3. Continuiamo con il terzo elemento della prima riga, cioè to13. Ripetiamo il processo: grattugiamo la riga e la colonna che contengono13.
Aggiungiamo il terzo determinante Di meno al risultato precedente ed estendiamo la serie di espansione in modo che:
Poiché non sono rimasti più elementi nella prima riga, chiudiamo il processo ricorsivo. Calcoliamo i determinanti minorenni.
Allo stesso modo in cui sono stati utilizzati gli elementi della prima riga, questo metodo può essere applicato anche con le colonne.
Esempio pratico della regola di Laplace
noi definiamo PER3×3Che cosa:
1. Iniziamo con il primo elemento r11= 5. Grattugiamo le righe e le colonne che compongono11= 5. Gli elementi che rimarranno senza grata, saranno la prima determinante Di meno moltiplicato per a11=5.
2. Continuiamo con il secondo elemento della prima riga, cioè r12= 2. Ripetiamo il processo: grattugiamo le righe e le colonne che contengono r12=2.
Regoliamo il segno del minore:
Aggiungiamo il secondo determinante Di meno al risultato precedente e formiamo una serie di espansione tale che:
3. Continuiamo con il terzo elemento della prima riga, cioè r13= 3. Ripetiamo il processo: grattugiamo la riga e la colonna che contengono r13=3.
Aggiungiamo il terzo determinante Di meno al risultato precedente ed estendiamo la serie di espansione in modo che:
Il determinante della matriceR3×3 è 15.