La geometria euclidea, euclidea o parabolica è la branca della matematica che si sviluppa negli spazi euclidei. Sono quegli ambienti che soddisfano i postulati del matematico greco Euclide.
Questo tipo di geometria è quella sostenuta da Euclide negli Elementi, trattato del IV secolo a.C. Questo è considerato uno dei testi più influenti della storia e raccoglie dai concetti base della geometria al famoso teorema di Pitagora.
Dalla geometria euclidea vengono analizzate le proprietà di vari elementi, sia unidimensionali (come linee e punti) che bidimensionali come poligoni (triangoli, quadrati, pentagoni, ecc.).
Anche dalla geometria euclidea si possono analizzare figure tridimensionali, purché siano soddisfatti i postulati di Euclide (che approfondiremo più avanti), in particolare, il quinto di essi.
Cioè, sebbene siano spesso confuse, la geometria piana è solo una parte della geometria euclidea dedicata allo studio delle figure geometriche in un piano bidimensionale.
I postulati di Euclide
I cinque postulati di Euclide sono i seguenti:
- Dati due punti, si può tracciare una linea che li congiunga.
- Qualsiasi segmento può essere esteso continuamente in qualsiasi direzione.
- È possibile disegnare un cerchio centrato in qualsiasi punto e di qualsiasi raggio.
- Tutti gli angoli retti sono congruenti, cioè hanno la stessa misura (90º).
- Il quinto postulato di Euclide ci dice che se una retta ne interseca altre due e forma, dalla stessa parte, due angoli interni acuti (inferiori a 90º), quelle due rette prolungate indefinitamente si intersecano dal lato su cui si trovano quegli angoli (vedi immagine in basso).
Come possiamo vedere nella figura sopra, se la linea A e la linea B si estendono verso l'alto, si intersecano. Cioè, non sono paralleli.
Limiti della geometria euclidea
La geometria euclidea ha dei limiti, soprattutto perché non è possibile studiare uno spazio tridimensionale in cui non regge il quinto postulato di Euclide.
Albert Einstein ha richiamato l'attenzione sulla necessità di ricorrere alla geometria non euclidea per studiare lo spazio-tempo curvo, cioè ciò che non è lineare (come è tradizionalmente concepito). Questa è una delle conseguenze della teoria della relatività generale, che postula che lo spazio non sia come un piano euclideo, ma che possa presentare deformazioni.