La differenza tra concavo e convesso può essere spiegata come segue → Il termine convesso si riferisce al fatto che una superficie ha una curvatura verso l'interno, mentre se fosse concava la curvatura sarebbe verso l'esterno.
Quindi, possiamo descriverlo in un altro modo. La parte centrale di una superficie convessa è più depressa o depressa. Se invece fosse concavo, quella parte centrale mostrerebbe un risalto.
Per capirlo meglio, possiamo citare alcuni esempi. Primo, il caso classico di una sfera, la cui superficie è convessa. Tuttavia, se lo tagliassimo in due e manteniamo la metà inferiore, avremmo un oggetto convesso, con un abbassamento (supponendo che l'interno della sfera sia vuoto).
Un altro esempio di concavo sarebbe una montagna, poiché è una sporgenza rispetto alla superficie terrestre. Al contrario, un pozzo è concavo, poiché entrarvi implica l'affondamento, al di sotto del livello della superficie terrestre.
Va inoltre notato che per definire un oggetto come prospettiva concava o convessa si deve anche tener conto. Così, un piatto fondo, ad esempio, quando è pronto da servire, è convesso, ha un abbassamento. Tuttavia, se lo capovolgiamo, il piatto sarà concavo.
Se analizziamo le parabole, ad esempio, sono convesse se hanno una forma a U, ma concave se hanno una forma a U rovesciata.
Funzioni concave e convesse
Se la seconda derivata di una funzione è minore di zero in un punto, allora la funzione è concava in quel punto. Se invece è maggiore di zero, in quel punto è convessa. Quanto sopra può essere espresso come segue:
Se f »(x) <0, f (x), è concavo.
Se f »(x)> 0, f (x) è convessa.
Ad esempio, nell'equazione f (x) = x2+ 5x-6, possiamo calcolare la sua derivata prima:
f '(x) = 2x + 5
Quindi troviamo la derivata seconda:
f »(x) = 2
Pertanto, poiché f »(x) è maggiore di 0, la funzione è convessa per ogni valore di x, come vediamo nel grafico seguente:
Vediamo ora il caso di quest'altra funzione: f (x) = - 4x2+ 7x + 9.
f '(x) = - 8x + 7
f »(x) = - 8
Pertanto, poiché la seconda derivata è minore di 0, la funzione è concava per ogni valore di x.
Ma ora diamo un'occhiata alla seguente equazione: -5 x3+ 7x2+5x-4
f '(x) = - 15x2+ 14x + 5
f »(x) = - 30x + 14
Poniamo uguale a zero la derivata seconda:
-30x + 14 = 0
x = 0,4667
Quindi, quando x è maggiore di 0,4667, f »(x) è maggiore di zero, quindi la funzione è convessa. Mentre se x è minore di 0,4667, la funzione è concava, come vediamo nel grafico sottostante:
Poligono convesso e concavo
Un poligono convesso è quello in cui due dei suoi punti possono essere uniti, disegnando una linea retta che rimane all'interno della figura. Allo stesso modo, i suoi angoli interni sono tutti inferiori a 180º.
D'altra parte, un poligono concavo è quello in cui, per unire due dei suoi punti, si deve tracciare una linea retta che sia esterna alla figura, essendo questa una diagonale esterna che unisce due vertici. Inoltre, almeno uno dei suoi angoli interni è maggiore di 180º.
Possiamo vedere un confronto nell'immagine qui sotto:
