Il teorema di Darmois è un teorema che permette di trovare una statistica T per un parametro con la proprietà di sufficiente.
In parole ancora più semplici, permette di trovare l'eventuale espressione matematica di una statistica sufficiente.
In relazione al criterio di factoring di Fisher-Neyman, possiamo fare una considerazione. Il criterio di fattorizzazione di Fisher-Neyman serve sia a verificare se una statistica soddisfa la proprietà di sufficiente, sia a trovare l'espressione matematica di una statistica sufficiente (se esiste). Al contrario, il teorema di Darmois permette solo di trovare l'espressione matematica (se esiste) di una statistica sufficiente.
Diciamo che mentre il criterio di fattorizzazione di Fisher-Neyman si sposta in avanti (ricerca) e all'indietro (verifica), il teorema di Darmois si sposta solo in avanti (ricerca).
Formula del teorema di Darmois
Teoricamente si esprime, dato un semplice campione casuale di una variabile casuale X con funzione di densità f (x; θ) con θ ∈ Ω. Se questa funzione appartiene alla famiglia esponenziale, cioè può essere espressa in modo tale che:
f (x; θ) = β (θ) × b (x) × e (a (x) × α (θ)
Allora la statistica T = T (x1,…, xn) = Σ a (x)
Per facilitare i calcoli, di solito viene eseguita la notazione logaritmica:
lnf (x; θ) = lnβ (θ) + lnb (x) + (a (x) × α (θ))
Certo, è difficile capire tutta questa notazione matematica. Appaiono tante incognite, tante lettere, tanti operatori. Ridefiniamolo con parole colloquiali. A tal fine, partiamo dalla definizione teorica applicata ad un esempio:
Supponiamo un campione casuale di 50 bambini (campione casuale semplice) a cui chiediamo quanti soldi spendono settimanalmente in dolci (variabile casuale X) con una data funzione di densità (vedi funzione di densità). Quindi, se questa funzione di densità possiamo esprimerla come segue:
Stabiliremo che la statistica sufficiente è la somma dell'espressione a (x)
Le parti della formula sono definite come segue:
- lnβ (θ): è una funzione che dipende solo dal parametro (nel nostro caso la media)
- lnb (x): è una funzione che dipende solo dalla variabile casuale X
- a (x): è una funzione che dipende solo da X e moltiplica α (θ)
- α (θ): è una funzione che dipende solo dal parametro (nel nostro caso la media)
Il teorema di Darmois in pratica
Sebbene tutti noi abbiamo la capacità e gli strumenti per scoprire nuove statistiche, raramente questa è la norma. In altre parole, professori di economia ed esperti del settore fanno ricerche su questi temi.
A livello personale, è difficile trovare qualcuno che si dedichi a questo tipo di ricerca. Quindi, in pratica, l'importante di questo teorema è capire da dove provengono queste statistiche che usiamo.
Ad esempio, affinché qualcuno scopra che la media è una statistica sufficiente, probabilmente ha utilizzato questo processo.
