Una progressione geometrica è una sequenza infinita di numeri in cui il rapporto è costante in tutta la sequenza e può essere rappresentato da una funzione esponenziale.
In altre parole, una progressione geometrica è una sequenza numerica e, quindi, infinita, in cui la variazione tra due numeri consecutivi qualsiasi sarà sempre la stessa in tutta la serie e che, una volta rappresentata, coincide con una funzione esponenziale.
Formula di progressione geometrica
Una progressione geometrica della forma X1, X2, …, Xn ,
X1 = X1
X2 = X1 · Motivo
X3 = X2 · Motivo
…
Xn-1 = Xn-2 · Motivo
Xn = Xn-1 · Motivo
Quindi, per calcolare il rapporto di una progressione geometrica, dovremmo solo applicare la seguente formula:
Il motivo sarà sempre lo stesso per tutta la progressione. In altre parole, se calcoliamo il rapporto di una coppia di numeri e il rapporto di una diversa coppia di numeri e ne risulta un rapporto diverso, allora significa che a un certo punto abbiamo commesso un errore.
La coppia di numeri scelta deve essere sempre consecutiva poiché il numero successivo dipende dal precedente moltiplicato per il rapporto.
Esempio
Data una progressione geometrica della forma X1, X2, …, X40 :
Il pedice della X indica la posizione del numero all'interno della sequenza. Quindi ci sono 40 elementi in questa progressione.
La progressione geometrica può sembrare più difficile della progressione aritmetica, ma è essenzialmente lo stesso concetto. Pertanto, poiché non vediamo il motivo a prima vista, ricorreremo a calcoli:
X2 / X1 = 1,5 / 1 = 1,5 rapporto
X3 / X2 = 2,25 / 1,5 = 1,5 rapporto
X4 / X3 = 3,38 / 2,25 = 1,5 rapporto
…
X39 / X38 = 4.914.369,92 / 3.276.246,61 = 1,5 rapporto
X40 / X39 = 7.371.554,88 / 4.914.369,92 = rapporto 1,5 .
Nonostante i numeri siano in aumento, il motivo sarà sempre lo stesso. È importante sottolineare che semplicemente moltiplicando per 1,5 e quaranta volte, si ottiene 7.371.554,88.
Rappresentazione
Se raccogliamo tutti i numeri della progressione precedente in un grafico e uniamo tutti i punti, vedremo che la funzione assomiglia molto alla funzione esponenziale.
Quindi questa progressione è monotona crescente perché il rapporto è maggiore di 0.
Confrontando la progressione aritmetica con la progressione geometrica, si arriva alla conclusione che per ottenere numeri più alti in pochi elementi all'interno della progressione, è meglio moltiplicare i rapporti (progressione geometrica) che sommare i rapporti (progressione aritmetica).