I modelli di equilibrio sui tassi di interesse sono modelli di equilibrio basati su un processo geometrico browniano e sulla neutralità al rischio dei tassi di interesse a breve termine.
In altre parole, i modelli dei tassi di interesse di equilibrio utilizzano tassi di interesse a breve termine per calcolare i tassi di interesse futuri tenendo conto della struttura a termine dei tassi di interesse.
Come riferimento per i tassi di interesse a breve termine, utilizzeremo i tassi di interesse del obbligazioni zero coupon. Un esempio potrebbero essere i buoni del tesoro spagnoli emessi a breve termine.
Voci consigliate: obbligazione zero coupon, opzione e mean reversion.
La struttura temporale dei prezzi delle obbligazioni zero coupon è ottenuta dal processo geometrico browniano che cattura le variazioni infinitesimali dei tassi di interesse a breve termine.
I prezzi delle obbligazioni zero coupon vengono utilizzati per valutare il prezzo delle opzioni obbligazionarie zero coupon e delle opzioni obbligazionarie coupon.
Quindi, per calcolare i futuri prezzi delle obbligazioni zero coupon, abbiamo bisogno di tassi di interesse zero coupon a breve termine. In questo modo possiamo anche costruire la curva o la struttura temporale dei tassi zero coupon. Una volta che abbiamo la curva, possiamo determinare l'evoluzione dei tassi di interesse a lungo termine dati i tassi di interesse a breve termine.
Struttura a termine o curva dei tassi di interesse delle obbligazioni zero coupon calcolata dal modello Vasicek:
Ipotesi del modello di equilibrio sui tassi di interesse
Le ipotesi del modello sono:
- Neutralità del rischio.
Assumiamo un rischio neutrale come assunzione classica per la valutazione degli asset nei mercati finanziari. Questa ipotesi è la chiave per ottenere il prezzo di un'obbligazione utilizzando la simulazione Monte Carlo.
- Distribuzione log-normale di obbligazioni e tassi di interesse.
Assumiamo la distribuzione log-normale poiché poniamo i tassi di interesse come una variabile positiva come i prezzi delle obbligazioni. Non avrebbe senso valutare obbligazioni a prezzo negativo. Assumendo una distribuzione log-normale dei tassi di interesse, possiamo dire che i tassi di interesse seguiranno un processo geometrico browniano. Se la distribuzione dei tassi di interesse fosse una distribuzione normale, allora diremmo che i tassi di interesse seguono un processo aritmetico browniano.
Modelli di equilibrio a fattore singolo
I modelli di equilibrio a fattore singolo sono modelli per il calcolo della struttura a termine dei tassi di interesse dai tassi di interesse a breve termine.
Diciamo di un unico fattore poiché il rischio o l'incertezza è dato da un unico fattore: la volatilità dei tassi di interesse. Esistono modelli di equilibrio a due fattori che offrono maggiori possibilità nei movimenti dei tassi di interesse.
Matematicamente, definiamo un modello di equilibrio a fattore singolo della forma:
Dove,
- r (t): tassi di interesse a breve termine in un istante di tempo t.
- dr: variazione dei tassi di interesse (r) nel tempo (dt).
- dt: passaggio del tempo = evoluzione del tempo.
- m (r) dt: direzione o trend (m) assunto dai tassi di interesse (r) nel tempo (dt).
- s (r): deviazione standard dei tassi di interesse (r).
- dZ: componente casuale o disturbo che segue una distribuzione normale con media 0 e varianza 1.
L'espressione di cui sopra è nota come a equazione differenziale stocastica espresso attraverso il processo Itô.
Tipi di modello
I modelli di equilibrio a un fattore più comuni sono:
- Modello di Rendleman e Bartter.
- modello Vasicek.
- Modello Cox, Ingresoll e Ross.
