La Maximum Likelihood Estimation (VLE) e il modello GARCH sono due strumenti econometrici ampiamente utilizzati per fare previsioni sul grado di dispersione di un campione dato un periodo di tempo attraverso un'autoregressione.
In altre parole, sia EMV che GARCH vengono utilizzati insieme per trovare la volatilità media a medio termine di un'attività finanziaria attraverso l'autoregressione.
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GARCH
Formula modello GARCH (p, q):
Dove
Coefficienti
I coefficienti del modello GARCH (p, q) sono
- La costante
Con
determinano il livello medio di volatilità nel medio termine. Limitiamo la costante a valori maggiori di 0, cioè (a + b)> 0.
- Il parametro di errore
determina la reazione di volatilità agli shock di mercato. Quindi, se questo parametro è maggiore di 0,1, indica che la volatilità è molto sensibile quando ci sono cambiamenti nel mercato. Limitiamo il parametro di errore a valori maggiori di 0, cioè a > 0.
- Parametro
determina di quanto la volatilità attuale si avvicina alla volatilità media a medio termine. Quindi se questo parametro è maggiore di 0,9 significa che il livello di volatilità rimarrà dopo uno shock di mercato.
- limitiamo
essere minore di 1, ovvero (a + b) <1.
Importante
Sebbene questi coefficienti siano ottenuti da EMV, dipendono indirettamente dalle caratteristiche del campione. Quindi, se un campione è composto da rendimenti giornalieri, otterremo risultati diversi da un campione composto da rendimenti annuali.
EMV
L'EMV massimizza la probabilità dei parametri di qualsiasi funzione di densità che dipende dalla distribuzione di probabilità e dalle osservazioni nel campione.
Quindi, quando vogliamo ottenere una stima dei parametri del modello GARCH, utilizziamo la funzione logaritmica di massima verosimiglianza. Nel modello GARCH assumiamo che il disturbo segua una distribuzione normale standard con media 0 e varianza:
Quindi, dovremo applicare i logaritmi alla funzione di densità di una distribuzione normale e troveremo la funzione di massima verosimiglianza.
Processi
- Scrivi la funzione di densità. In tal caso, dalla normale distribuzione di probabilità.
Se deriviamo la funzione di densità rispetto ai suoi parametri, troviamo le condizioni del primo ordine (CPO):
Trovi familiari le formule sulla destra? Sono la famosa media e la varianza campionaria. Questi sono i parametri della funzione di densità.
- Applichiamo i logaritmi naturali:
- Risolviamo la funzione di cui sopra:
- Per ottenere stime di massima verosimiglianza dei parametri precedenti, dobbiamo:
In altre parole, per trovare stime dei parametri GARCH con massima probabilità dobbiamo massimizzare la funzione di massima verosimiglianza (funzione precedente).
App
Ogni volta che vogliamo trovare la funzione logaritmica di massima verosimiglianza, dovremo fare i passaggi precedenti? Dipende.
Se assumiamo che la frequenza delle osservazioni possa essere approssimata in modo soddisfacente a una distribuzione di probabilità normale standard, allora dovremo solo copiare l'ultima funzione.
Se assumiamo che la frequenza delle osservazioni possa essere approssimata in modo soddisfacente alla distribuzione t di Student, dovremo standardizzare i dati e applicare i logaritmi alla funzione di densità t di Student. In conclusione, eseguire tutti i passaggi precedenti.