La forma quadratica della matrice è il prodotto della moltiplicazione di un vettore di ordine n con qualsiasi matrice quadrata per il vettore di ordine n trasposto.
In altre parole, la forma quadratica della matrice è una combinazione lineare di una matrice quadrata, un vettore di ordine n e la trasposta di quel vettore.
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Formula di forma quadratica della matrice
Data una matrice quadrata Z di ordine n e un vettore h di n dimensioni, possiamo scrivere l'espressione chiamata forma quadratica della forma:
Il risultato della forma quadratica sarà sempre uno scalare, cioè un singolo numero, non una matrice.
Applicazioni
La forma quadratica della matrice viene utilizzata per trovare il grado di positività e negatività delle matrici definite. A seconda dei valori del vettore h, il valore della forma quadratica sarà zero (0), positivo o negativo.
Una volta ottenuta la forma quadratica possiamo dire di aver "definito" la matrice. Quindi, possiamo parlare di una matrice definita. Questa matrice può essere definita positiva, semidefinita positiva, definita negativa e semidefinita negativa.
Esempio pratico
Trovare la forma quadratica della matrice quadrata Z dato un vettore h:
Processi
Per prima cosa trasponiamo il vettore h.
Quindi applichiamo la formula della forma quadratica.
Come abbiamo detto prima, il risultato della forma quadratica sarà sempre un numero singolo. In questo caso è un numero strettamente positivo.
Ma… Come può essere che il risultato sia un numero concreto e non una matrice se stiamo moltiplicando le matrici?
La riduzione della dimensione della matrice dalla moltiplicazione avviene perché stiamo moltiplicando matrici che condividono lo stesso numero di colonne e righe.
Dimostrazione:
Dal prodotto matrice Z e dal vettore trasposto h rimane un vettore di dimensione 3 × 1. Allo stesso modo, il prodotto del vettore risultato per il vettore h rimane una matrice di dimensione 1 × 1. Una matrice di dimensione 1 × 1 è uno scalare.
Quindi, se calcoliamo la forma quadratica di una matrice e otteniamo una matrice con dimensione maggiore di 1 × 1 (otteniamo un altro risultato diverso da un numero specifico), vorrà dire che abbiamo commesso un errore in qualche passaggio e che il il risultato è sbagliato.
