La moltiplicazione di matrici consiste nel combinare linearmente due o più matrici aggiungendo i loro elementi a seconda della loro posizione all'interno della matrice di origine, rispettando l'ordine dei fattori.
In altre parole, la moltiplicazione di due matrici consiste nell'unificare le matrici in un'unica matrice moltiplicando e sommando gli elementi delle righe e delle colonne delle matrici sorgente, tenendo conto dell'ordine dei fattori.
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Moltiplicazione di matrici
Date due matrici Z sì sì di n righe e m colonne:
Proprietà
- La dimensione della matrice del risultato è la combinazione della dimensione delle matrici. In altre parole, la dimensione della matrice del risultato saranno le colonne della prima matrice e le righe della seconda matrice.
In questo caso, troveremo che Zn (righe di Z) è uguale a sìm(colonne di Y) per poterli moltiplicare. Quindi, se sono uguali, la matrice del risultato sarà:
Esempi
- Moltiplichiamo le matrici due per due.
Moltiplichiamo le matrici a due a due per preservare le dimensioni delle matrici originali e facilitare il processo.
- La moltiplicazione tra matrici non è commutativa.
Regime di proprietà commutativa
La proprietà commutativa rappresenta quella frase ben nota: l'ordine dei fattori non altera il risultato.
Troviamo questa proprietà nell'addizione e nella moltiplicazione ordinarie, cioè quando aggiungiamo e moltiplichiamo qualsiasi oggetto che non sia una matrice.
Dato lo schema sopra, la proprietà commutativa ci dice che se moltiplichiamo prima il sole blu e poi il sole giallo, otterremo lo stesso risultato (sole verde) come se moltiplichiamo prima il sole giallo e poi il sole blu.
Quindi, se la moltiplicazione delle matrici non rispetta la proprietà commutativa, implica che l'ordine dei fattori sì influisce sul risultato. In altre parole, non otterremo il sole verde se cambiamo l'ordine dei soli giallo e blu.
Processi
Possiamo moltiplicare le matrici precedenti se il numero di righe nella matrice Z è uguale al numero di colonne nella matrice sì. Vale a dire, Zn = sìm.
Una volta determinato che possiamo moltiplicare le matrici, moltiplichiamo gli elementi di ogni riga per ogni colonna e li sommiamo in modo tale che rimanga un solo numero nel punto in cui coincidono gli ovali blu precedenti.
Prima troviamo dove coincidono gli ovali blu e poi facciamo la somma delle moltiplicazioni degli elementi.
- Per il primo elemento della matrice risultato, vediamo che gli ovali coincidono dove l'elemento z è11.
- Per l'ultimo elemento della matrice risultato, vediamo che gli ovali coincidono nell'elemento enm.
Esempio teorico
Date due matrici quadrate D sì E,
Moltiplicare le matrici precedenti.
Iniziamo moltiplicando la prima riga della matrice D con la prima colonna della matrice E. Quindi facciamo lo stesso ma mantenendo la riga o la colonna di ogni matrice a seconda che vogliamo moltiplicare alcuni elementi o altri. Ripetiamo la procedura fino a quando non abbiamo riempito tutte le lacune.
Esercizio
Dimostrare che la proprietà commutativa non è soddisfatta nel prodotto di matrici.
