Il logaritmo è una funzione monotona strettamente concava (crescente) compresa nell'insieme dei numeri reali positivi ed è l'inverso della funzione esponenziale.
In altre parole, il logaritmo è una funzione che dipende da una base e da un argomento che cresce a un tasso di crescita decrescente.
Articoli consigliati: logaritmo naturale, logaritmi in econometria e numeri reali.
Formula del logaritmo
L'espressione logaritmica è composta da una base e da un argomento.
In questo caso, il base è x e discussione è z da cui otterremo il logaritmo.
Ma… Degli elementi dell'equazione precedente, qual è il logaritmo?
Per lo più tendiamo a pensare che il logaritmo dell'espressione precedente sia solo logX, ma non è vero. La risposta corretta è logXz poiché abbiamo bisogno anche della variabile z per poter calcolare il logaritmo.
Dominio
Data una variabile numerica z compresa nell'insieme dei numeri reali, è soggetta al vincolo di adottare solo reali positivi.
In altre parole, gli argomenti del logaritmo prenderanno solo numeri reali strettamente (>) maggiori di zero (0).
Dato un numero x compreso nell'insieme dei numeri reali, è soggetto alla restrizione di adottare solo reali positivi maggiori di 1.
In altre parole, le basi dei logaritmi prenderanno solo numeri reali strettamente (>) maggiori di uno (1).
Le basi più utilizzate sono 2, 10 ed e.
Il logaritmo in base 10 si chiama logaritmo decimale o comune.
Il logaritmo in base 2 è noto come logaritmo binario.
Se la base del logaritmo è il numero e, allora il logaritmo si chiama logaritmo naturale o naturale.
Rappresentazione
Di cosa abbiamo bisogno per calcolare il logaritmo di un numero?
Per calcolare il logaritmo abbiamo bisogno di due numeri che appartengono all'insieme dei reali positivi e anche che uno di essi sia diverso da uno (1). Un numero fungerà rispettivamente da argomento e l'altro da base.
Risultato
Sebbene ci siano restrizioni sui numeri che possono essere utilizzati per la base e l'argomento, il codominio della funzione logaritmica è costituito da tutti i numeri reali. In altre parole, possiamo ottenere logaritmi negativi, neutri (0) o positivi poiché possono assumere qualsiasi valore della retta reale:
È importante non confondere il dominio dell'argomento con il dominio del risultato (codominio).
Esempi
App
In finanza, i logaritmi vengono utilizzati per ottenere i rendimenti continui di un'attività o di un prodotto finanziario.
In economia, sia in microeconomia che in macroeconomia, sono usati per esprimere l'avversione al rischio degli agenti economici nelle funzioni di utilità. Sono anche usati per fare trasformazioni monotone di funzioni di utilità.
In econometria, la scala delle variabili viene trasformata per facilitarne l'interpretazione.