La decomposizione di Cholesky è un tipo speciale di scomposizione di matrici LU, dall'inglese Lower-Upper, che consiste nel fattorizzare una matrice nel prodotto di due o più matrici.
In altre parole, la scomposizione di Cholesky consiste nell'equiparare una matrice contenente lo stesso numero di righe e colonne (matrice quadrata) ad una matrice con zeri sopra la diagonale principale moltiplicata per la sua matrice trasposta con zeri sotto la diagonale principale.
La decomposizione LU, a differenza di Cholesky, può essere applicata a vari tipi di matrici quadrate.
Caratteristiche di decomposizione di Cholesky
La decomposizione di Cholesky consiste in:
- Una matrice quadrata triangolare superiore: Matrice quadrata che ha solo zeri sotto la diagonale principale.
- Una matrice quadrata triangolare inferiore: Una matrice che ha solo zeri sopra la diagonale principale.
Matematicamente, se esiste una matrice simmetrica definita positiva, E, allora esiste una matrice simmetrica triangolare inferiore, K, della stessa dimensione di E, con il risultato di:
La matrice sopra appare come la matrice di Cholesky di E. Questa matrice funge da radice quadrata della matrice E. Sappiamo che il dominio della radice quadrata è:
(X ∈ ℜ: x ≥ 0)
Che è definito in tutti i numeri reali non negativi. Allo stesso modo della radice quadrata, la matrice di Cholesky esisterà solo se la matrice è definita semi-positiva. Una matrice è definita semi-positiva quando i minori maggiori hanno un determinante positivo o nullo.
La decomposizione di Cholesky di E è una matrice diagonale tale che:
Possiamo vedere che le matrici sono quadrate e contengono le caratteristiche menzionate; triangolo di zeri sopra la diagonale principale nella prima matrice e triangolo di zeri sotto la diagonale principale nella matrice trasformata.
Applicazioni di decomposizione di Cholesky
In finanza si usa per trasformare le realizzazioni di variabili normali indipendenti in variabili normali correlate secondo una matrice di correlazione E.
Se N è un vettore di Normali indipendenti (0,1), ne segue che Ñ è un vettore di Normali (0,1) correlati secondo E.
Esempio di decomposizione di Cholesky
Questo è l'esempio più semplice che possiamo trovare di scomposizione di Cholesky poiché le matrici devono essere quadrate, in questo caso la matrice è (2 × 2). Due righe per due colonne. Inoltre, soddisfa le caratteristiche di avere zeri sopra e sotto la diagonale principale. Questa matrice è definita semi-positiva perché i minori maggiori hanno un determinante positivo. Definiamo:
Risolvendo per: c2 = 4; b · c = -2; per2+ b2 = 5; abbiamo quattro possibili matrici di Cholesky:
Infine calcoliamo di trovare (a, b, c). Una volta trovate, avremo le matrici di Cholesky. Il calcolo è il seguente:
