La distanza tra due punti di dimensione R nello spazio è l'applicazione della radice quadrata al vettore formato da quei punti ordinati.
In altre parole, la distanza tra due punti nello spazio è il modulo del vettore formato da quei punti.
La distanza tra due punti non è altro che il modulo del vettore formato dai punti dati. Una volta calcolato il modulo del vettore, avremo già la distanza tra i due punti.
Formula
Dati i seguenti due punti:
Quindi, la distanza tra questi due punti sarà il modulo del vettore che formano:
Pertanto, il modulo di questo vettore sarà la distanza tra questi due punti:
La lunghezza della radice dipenderà dal numero di dimensioni che hanno i punti. Se sono solo punti bidimensionali, ci saranno solo due termini all'interno della radice. D'altra parte, se i punti hanno 6 dimensioni, allora ci saranno 6 elementi all'interno della radice.
Si dice che i punti devono essere ordinati perché nei vettori, come nelle matrici, l'ordine dei fattori conta ed è cruciale per la corretta risoluzione dei problemi. Un vettore che va dal punto B al punto C non è uguale a un altro vettore che va dal punto C al punto B.
Schematicamente:
Ciò che i due vettori precedenti condividono è la distanza: sia il vettore BC che il vettore CB mantengono la stessa distanza tra i loro punti. In altre parole, hanno lo stesso modulo.
Questo perché la differenza dei due vettori è solo il segno delle loro coordinate. Poiché il modulo include la creazione del quadrato delle coordinate del vettore, produce lo stesso effetto come se applicassimo il valore assoluto. Infatti, questo è il motivo per cui indichiamo il modulo di un vettore con le due rette parallele:
Quindi viene applicata la radice per rimuovere l'effetto del quadrato dei componenti e tornare alle stesse unità.
Distanza nella geometria analitica e nella realtà
Quando dobbiamo calcolare distanze in geometria analitica possiamo aiutarci con esempi reali. Ad esempio, se ci viene chiesto di calcolare la distanza tra due punti, come in questo caso, possiamo immaginare noi stessi come punto di partenza (punto B) e un oggetto come punto finale (punto C). Quindi, possiamo misurare quella distanza sottraendo in valore assoluto tra un punto e l'altro. In altre parole più tecniche, calcola il modulo.
Vedremo che dalla nostra posizione all'oggetto e dall'oggetto a noi ci sarà la stessa distanza. Inoltre, tale distanza sarà sempre positiva, indipendentemente dal fatto che sia 0 o maggiore. Può essere che stiamo tenendo l'oggetto e, quindi, quella distanza è 0, o che l'obiettivo è lontano, quindi una distanza positiva.
Esempio di distanza tra due punti
Calcola la distanza tra i seguenti punti:
