Il teorema di Talete è una legge della geometria che ci dice che se una linea viene disegnata parallela a entrambi i lati di un triangolo, avremo un triangolo simile al triangolo originale.
In altre parole, se tagliamo un triangolo tracciando una linea parallela ad uno dei suoi lati, otterremo un triangolo simile a quello esistente in precedenza.
A questo punto, va notato che due triangoli sono simili quando i loro angoli corrispondenti sono congruenti (misurano la stessa cosa) ei loro lati omologhi sono proporzionali tra loro.
Per capirlo meglio, osserviamo la seguente figura:
Per il teorema di Talete si può concludere che α = δ e β = ε
Inoltre, come abbiamo detto in precedenza, i lati sono proporzionali, quindi è vero che:
Un aneddoto riportato dallo storico Plutarco racconta che Talete di Mileto, in uno dei suoi viaggi, si servì di questo teorema per conoscere l'altezza delle piramidi di Giza (quelle di Cheope, Chefren e Menkaure) in Egitto. Così decise di appoggiare un bastone verticalmente al suolo, aspettando che la lunghezza dell'oggetto fosse pari all'ombra che proiettava. A quel tempo, anche l'ombra della piramide sarebbe uguale alla sua altezza. In questo caso, i triangoli simili sono:
- Quello i cui due lati sono la verga e la sua ombra.
- Il triangolo che ha come uno dei suoi lati l'altezza della piramide e, come un altro lato, la sua ombra.
Per capirci meglio, immaginiamo nella figura sopra che la piramide sia quella formata dai vertici D, E e F, la sua altezza sia il segmento HE e la sua ombra, IE. Nel frattempo, l'asta è il segmento AB e la sua ombra, CB. Pertanto, AB / CB = HE / IE. Questo, tenendo conto che i raggi del sole sono paralleli (non si incrociano o nel loro prolungamento), quindi formeranno con l'asta lo stesso angolo che con la piramide (gli angoli α e β sono uguali).
Esempio di teorema di Talete
Per comprendere meglio il teorema di Talete, diamo un'occhiata alla seguente figura:
Se BC misura 7,3 metri, DE misura 3,6 metri e AB misura 6,2 metri. Qual è la lunghezza di AD?
Isoliamo nella formula mostrata in precedenza e abbiamo:
7.3 / 3.6 = 6.2 / AD
2.0278 = 6.2 / AD
AD = 3,0575 metri
Estensione del teorema di Talete
Il teorema di Talete può essere esteso all'analisi di due rette qualsiasi che sono tagliate da altre rette parallele tra loro, come vediamo nell'immagine seguente:
Allora è vero che:
Questo è vero perché dobbiamo pensare a quelle linee come parte di un triangolo o, per vederla in un altro modo, se estendiamo le linee AB e CD, si incroceranno. Lo vediamo meglio nell'immagine seguente:
Secondo teorema di Talete
Esiste anche un secondo teorema di Talete secondo il quale, se abbiamo un triangolo formato dal diametro di una circonferenza e due rette che la intersecano (tagliano la figura in due punti), quell'angolo opposto al diametro è giusto, cioè , , misura 90º.
Si ricorda che un diametro è quel segmento che, passando per il centro della circonferenza, congiunge due punti opposti di detta figura.
Possiamo vedere meglio quanto sopra nell'immagine seguente:
Possiamo verificare questo teorema tenendo conto che AC, AD e AB misurano lo stesso e sono uguali al raggio della circonferenza (il raggio è qualsiasi segmento che unisce un punto della circonferenza con il centro della figura ed è uguale alla metà diametro). Quindi, i triangoli ABC e ABD sono isosceli e i loro due lati simili sono angoli opposti che misurano anche lo stesso, cioè:
AC = AD = AB = r (raggio della circonferenza)
γ = β e α = δ
Quindi, se vediamo il triangolo CBD e ricordiamo che gli angoli interni di un triangolo devono sommarsi fino a 180º, abbiamo:
+ β + α + δ = 180º
2β + 2α = 180º
2 (α + β) = 180º
α + β = 90º
Pertanto, il triangolo CBD è un triangolo rettangolo.