La serie di Taylor è una serie di potenze che si estende all'infinito, dove ciascuno degli addendi è elevato a una potenza maggiore della precedente.
Ogni elemento della serie di Taylor corrisponde alla derivata n-esima della funzione f valutata al punto a, tra il fattoriale di n (n!), e tutto questo, moltiplicato per x-a elevato alla potenza n.
In termini formali o matematici, la serie di Taylor ha la seguente forma:
Per comprendere meglio la serie di Taylor, dobbiamo tenere a mente che a è un punto su una retta tangente alla funzione f. Tale retta può, a sua volta, essere espressa come una funzione lineare la cui pendenza è la stessa della funzione f nel punto a.
Un altro aspetto da tenere a mente è che f è una funzione differenziabile n volte nel punto a. Se n è infinito, è una funzione infinitamente differenziabile.
In un caso particolare, quando a = 0, la serie è anche chiamata serie di McLaurin.
Differenza tra serie e polinomio di Taylor
La differenza tra serie e polinomio di Taylor è che, nel primo caso, si parla di successione infinita, mentre nel secondo si tratta di serie finita.
Quindi, il polinomio di Taylor può essere definito come un'approssimazione polinomiale di una funzione n volte differenziabile in un punto specifico (a).
Esempi di serie di Taylor
Alcuni esempi di variazioni della serie di Taylor sono:
- Funzione esponenziale:
- Funzioni trigonometriche:
Applicazioni della serie Taylor
Alcune applicazioni della serie di Taylor sono:
- Analisi dei limiti.
- Analisi di punti stazionari o punti sedia nelle funzioni.
- Applicazione nel teorema di L'Hopital (risolvere limiti).
- Stima integrale.
- Stima di convergenze e divergenze di alcune serie.
- Analisi di attività e prodotti finanziari, quando il prezzo è espresso come una funzione non lineare.
