Valore assoluto - Che cos'è, definizione e concetto

Il valore assoluto di un numero reale è la sua grandezza, indipendentemente dal segno che lo precede.

Il valore assoluto di un numero, in altre parole, è il valore che risulta dall'eliminazione del segno ad esso corrispondente.

Per vederlo in termini più formali, abbiamo le seguenti condizioni che devono essere soddisfatte, dove la x tra due barre significa che stiamo trovando il valore assoluto di x:

| x | = x se x≥ 0

| x | = -x se x <0

Cioè, il valore assoluto di un numero positivo è questo stesso numero. Invece, il valore assoluto di un numero negativo è uguale a questo numero, ma con un segno negativo davanti. Cioè, moltiplicato per -1.

Inoltre, il valore assoluto di -10 è - (- 10) = 10. Quindi, dobbiamo sottolineare che il valore assoluto è sempre positivo.

Proprietà di valore assoluto

Tra le proprietà di valore assoluto spiccano le seguenti:

• Il valore assoluto di un numero e il suo opposto sono gli stessi. Cioè, il valore di -19 e 19 è lo stesso: 19.
• Il valore assoluto di una somma è uguale o inferiore alla somma dei valori assoluti degli addendi. Cioè è vero che:

| x + y | ≤ | x | + | y ​​|

Possiamo verificare quanto sopra con alcuni esempi:

|8+9|≤|8|+|9|

|17|≤8+9

17≤17

|12-25|≤|12|+|-25|

|-13|≤12+25

13≤37

|16+31-21|≤|16|+|31|+|-21|

|26|≤16+31+21

26≤68

• Un'altra proprietà è quella che chiamiamo proprietà moltiplicativa. Questo ci dice che il valore assoluto di un prodotto è uguale al prodotto dei valori assoluti dei fattori. Cioè, quanto segue è vero:

| xy | = | x |. | y |

Possiamo verificare quanto sopra nei seguenti esempi:

| 3 × 4 | = | 3 | x | 4 |

|12|=3×4

12=12

| 6x-5 | = | 6 | x | -5 |

|-30|=6×5

30=30

• Come controparte della proprietà moltiplicativa, abbiamo quella di conservazione della divisione, la quale ci dice che il valore assoluto di una divisione è uguale al quoziente dei valori assoluti degli stessi elementi di detta operazione. Questo, purché il divisore non sia zero. Cioè è vero che:

| x / y | = | x | / | y |

Lo possiamo vedere in alcuni esempi:

|60/5|=|60|/|5|

|12|=60/5

12=12

|-87/3|=|-87|/|3|

|-29|=87/3

29=29

Valore assoluto su un grafico

Successivamente, vediamo come sarebbe un esempio di valore assoluto in un piano cartesiano.

In questo caso abbiamo una semplice funzione y = | x |, e notiamo che il valore di y sarà sempre positivo, indipendentemente dal valore di x.