Il valore assoluto di un numero reale è la sua grandezza, indipendentemente dal segno che lo precede.
Il valore assoluto di un numero, in altre parole, è il valore che risulta dall'eliminazione del segno ad esso corrispondente.
Per vederlo in termini più formali, abbiamo le seguenti condizioni che devono essere soddisfatte, dove la x tra due barre significa che stiamo trovando il valore assoluto di x:
| x | = x se x≥ 0
| x | = -x se x <0
Cioè, il valore assoluto di un numero positivo è questo stesso numero. Invece, il valore assoluto di un numero negativo è uguale a questo numero, ma con un segno negativo davanti. Cioè, moltiplicato per -1.
Inoltre, il valore assoluto di -10 è - (- 10) = 10. Quindi, dobbiamo sottolineare che il valore assoluto è sempre positivo.
Proprietà di valore assoluto
Tra le proprietà di valore assoluto spiccano le seguenti:
- Il valore assoluto di un numero e il suo opposto sono gli stessi. Cioè, il valore di -19 e 19 è lo stesso: 19.
- Il valore assoluto di una somma è uguale o inferiore alla somma dei valori assoluti degli addendi. Cioè è vero che:
| x + y | ≤ | x | + | y |
Possiamo verificare quanto sopra con alcuni esempi:
|8+9|≤|8|+|9|
|17|≤8+9
17≤17
|12-25|≤|12|+|-25|
|-13|≤12+25
13≤37
|16+31-21|≤|16|+|31|+|-21|
|26|≤16+31+21
26≤68
- Un'altra proprietà è quella che chiamiamo proprietà moltiplicativa. Questo ci dice che il valore assoluto di un prodotto è uguale al prodotto dei valori assoluti dei fattori. Cioè, quanto segue è vero:
| xy | = | x |. | y |
Possiamo verificare quanto sopra nei seguenti esempi:
| 3 × 4 | = | 3 | x | 4 |
|12|=3×4
12=12
| 6x-5 | = | 6 | x | -5 |
|-30|=6×5
30=30
- Come controparte della proprietà moltiplicativa, abbiamo quella di conservazione della divisione, la quale ci dice che il valore assoluto di una divisione è uguale al quoziente dei valori assoluti degli stessi elementi di detta operazione. Questo, purché il divisore non sia zero. Cioè è vero che:
| x / y | = | x | / | y |
Lo possiamo vedere in alcuni esempi:
|60/5|=|60|/|5|
|12|=60/5
12=12
|-87/3|=|-87|/|3|
|-29|=87/3
29=29
Valore assoluto su un grafico
Successivamente, vediamo come sarebbe un esempio di valore assoluto in un piano cartesiano.
In questo caso abbiamo una semplice funzione y = | x |, e notiamo che il valore di y sarà sempre positivo, indipendentemente dal valore di x.
