Proprietà degli stimatori

Le proprietà degli estimatori sono le qualità che questi possono avere e che servono a scegliere quelli che sono più capaci di dare buoni risultati.

Per cominciare definendo il concetto di stimatore, diremo che dato un qualsiasi campione casuale (x₁, X₂, X₃,…, X_n) uno stimatore rappresenta una popolazione che dipende da φ un parametro che non conosciamo.

Questo parametro, che indichiamo con la lettera greca fi (φ), può essere, ad esempio, la media di qualsiasi variabile casuale.

Matematicamente, uno stimatore Q a un parametro dipende dalle osservazioni casuali nel campione (x₁, X₂, X₃,…, X_n) e una funzione nota (h) del campione. Lo stimatore (Q) sarà una variabile casuale perché dipende dal campione che contiene variabili casuali.

Q = h (x₁, X₂, X₃,…, X_n)

Imparzialità di uno stimatore

Uno stimatore Q di φ è uno stimatore imparziale se E (Q) = φ per tutti i possibili valori di φ. Definiamo E (Q) come il valore atteso o aspettativa dello stimatore Q.

Nel caso di stimatori distorti, questo bias sarebbe rappresentato come:

Bias (Q) = E (Q) - φ

Possiamo vedere che il bias è la differenza tra il valore atteso dello stimatore, E (Q), e il vero valore del parametro della popolazione, .

Efficienza di uno stimatore

Sì Q₁ e Q₂ sono due stimatori imparziali di , la loro relazione con Q sarà efficiente₂ quando Var (Q₁) ≤ Var (Q₂) per qualsiasi valore di purché il campione statistico di sia strettamente maggiore di 1, n> 1. Dove Var è la varianza e n è la dimensione del campione.

Intuitivamente detto, supponendo di avere due stimatori con la proprietà imparziale, possiamo dire che uno (Q₁) è più efficiente di un altro (Q₂) se la variabilità dei risultati di uno (Q₁) è minore di quello dell'altro (Q₂). È logico pensare che una cosa che varia più di un'altra sia meno "precisa".

Pertanto, possiamo utilizzare questo criterio per selezionare gli stimatori solo quando sono imparziali. Nella precedente affermazione, quando definiamo l'efficienza, assumiamo già che gli stimatori debbano essere imparziali.

Per confrontare stimatori che non sono necessariamente imparziali, ovvero che possono esistere bias, si consiglia di calcolare l'errore quadratico medio (MSE) degli stimatori.

Se Q è uno stimatore di , allora l'ECM di Q è definito come:

L'errore quadratico medio (MSE) calcola la distanza media che esiste tra il valore atteso dello stimatore campionario Q e lo stimatore della popolazione. La forma quadratica dell'ECM è dovuta al fatto che gli errori possono essere per default, negativi, oppure per eccesso, positivi, rispetto al valore atteso. In questo modo, ECM calcolerà sempre valori positivi.

L'ECM dipende dalla varianza e dalla distorsione (se presente) consentendoci di confrontare due stimatori quando uno o entrambi sono distorti. Quello la cui NDE è maggiore sarà inteso come meno preciso (ha più errore) e, quindi, meno efficiente.

Consistenza di uno stimatore

La consistenza è una proprietà asintotica. Questa proprietà assomiglia alla proprietà dell'efficienza con la differenza che la consistenza misura la probabile distanza tra il valore dello stimatore e il valore vero del parametro della popolazione all'aumentare della dimensione del campione indefinitamente. Questo aumento indefinito della dimensione del campione è alla base della proprietà asintotica.

Esiste una dimensione minima del campione per eseguire l'analisi asintotica (verificare la consistenza dello stimatore all'aumentare del campione). Le grandi approssimazioni di campioni funzionano bene per campioni di circa 20 osservazioni, (n = 20). In altre parole, vogliamo vedere come si comporta lo stimatore quando aumentiamo il campione, ma questo aumento tende all'infinito. Detto questo, facciamo un'approssimazione e da 20 osservazioni in un campione (n ≥ 20), l'analisi asintotica è appropriata.

Matematicamente, definiamo Q₁n come stimatore di da qualsiasi campione casuale (x₁, X₂, X₃,…, X_n) di dimensioni (n). Quindi possiamo dire che Q_n è uno stimatore consistente di se:

Questo ci dice che le differenze tra lo stimatore e il suo valore della popolazione, | Q_n - φ |, devono essere maggiori di zero. Per questo lo esprimiamo in valore assoluto. La probabilità di questa differenza tende a 0 (diventa sempre più piccola) quando la dimensione del campione (n) tende all'infinito (diventa sempre più grande).

In altre parole, è sempre meno probabile che Q_n si allontana troppo da quando la dimensione del campione aumenta.