Il baricentro di un triangolo è il punto in cui si intersecano le mediane della figura. È anche conosciuto come baricentro.
Va ricordato che la mediana è il segmento che unisce il vertice del triangolo con il punto medio del suo lato opposto. Quindi ogni triangolo ha tre mediane.
Ad esempio, nel triangolo sopra, il centro di gravità è il punto O, con le mediane che sono i segmenti AF, BD e CE.
Una proprietà importante del baricentro è che la sua distanza da ciascun vertice è doppia rispetto al lato opposto.
Per spiegarlo meglio, in ciascuna mediana si possono distinguere due parti:
- La distanza dal vertice al centro di gravità, che è 2/3 della lunghezza della mediana
- Il restante 1/3, che è la distanza dal centro di gravità al punto medio del lato opposto.
Nell'immagine sopra, ad esempio, è vero che:
Come trovare il baricentro di un triangolo
Per trovare il baricentro del triangolo bisogna tener conto che, conoscendo le coordinate dei tre vertici del triangolo, le coordinate del baricentro corrispondono alla sua media aritmetica. Quindi supponiamo che i vertici siano:
Allora le coordinate del baricentro, che chiameremo O, sarebbero:
Ora, è anche possibile trovare il baricentro se abbiamo le equazioni delle rette che contengono almeno due delle mediane.
Ricordiamo che in geometria analitica una retta può essere espressa come equazione algebrica del primo ordine come:
y = xm + b
Nell'equazione mostrata, y è la coordinata sull'asse delle ordinate (verticale), x è la coordinata sull'asse delle ascisse (orizzontale), m è la pendenza (inclinazione) che forma la linea rispetto all'asse delle ascisse e b è il punto in cui la linea interseca l'asse delle ordinate.
Per capire meglio quanto sopra, diamo un'occhiata a un esempio.
Esempio di baricentro
Supponiamo di avere un triangolo di cui conosciamo due dei suoi vertici:
A (0,4) e B (-2,1)
Ora, è inoltre noto che il punto medio del vertice lato opposto A è (3,1), e il punto medio del vertice lato opposto B è (4, 2,5). È bene precisare che stiamo utilizzando il punto e virgola per non confonderlo con la virgola che separa i decimali.
Per prima cosa troveremo l'equazione della retta che contiene la mediana che parte dal vertice A, tenendo conto che la pendenza quando si passa da un punto all'altro deve essere sempre la stessa. La pendenza è la variazione sull'asse verticale tra la variazione sull'asse orizzontale:
Quello che abbiamo fatto è supporre che la retta passi per un punto (x1, y1), che è il vertice A (0, 4), e per il punto (x2, y2) che è il punto medio del suo lato opposto (3 , 1).
Quindi, facciamo lo stesso con il vertice B (-2,1) e il punto medio del suo lato opposto (-4, -2,5):
Passaggio successivo, equalizziamo il lato destro delle due equazioni trovate per risolvere il valore sull'asse X quando entrambe coincidono:
Quindi risolviamo in una qualsiasi delle equazioni per trovare il valore di y:
Pertanto, il baricentro del triangolo è il punto (2,2) nel piano cartesiano.