Il modello Vasicek è un modello di equilibrio a un fattore sui tassi di interesse basato su un processo geometrico Browniano che tiene conto della reversione media e della struttura temporale dei tassi di interesse.
In altre parole, il modello Vasicek viene utilizzato per prevedere i tassi di interesse a lungo termine simulando i tassi di interesse a breve termine. Inoltre, tiene conto del fatto che i tassi di interesse sono diversi nei diversi periodi di tempo (struttura temporale dei tassi di interesse).
I modelli di tasso di interesse di equilibrio utilizzano tassi di interesse a breve termine per calcolare i tassi di interesse futuri tenendo conto della struttura a termine dei tassi di interesse.
Per costruire la curva dei rendimenti abbiamo bisogno dei tassi di interesse a breve termine e dei parametri del modello. Una volta che abbiamo i tassi di interesse a breve termine ei parametri, possiamo calcolare i tassi di interesse a lungo termine.
Quindi, per calcolare i futuri prezzi delle obbligazioni zero coupon, abbiamo bisogno di tassi di interesse zero coupon a breve termine. In questo modo possiamo anche costruire la curva o la struttura temporale dei tassi zero coupon. Una volta ottenuta la curva, determineremo l'evoluzione dei tassi di interesse a lungo termine dati i tassi di interesse a breve termine.
Formula Modello Vasicek: Prezzo Obbligazionario Zero Coupon.
Soluzione analitica per trovare il prezzo di un'obbligazione zero coupon che paga 1 € alla scadenza (T) in qualsiasi periodo di tempo (t) e ad un tasso di interesse a breve termine (r (t)).
Niente panico!
Abbiamo solo bisogno di:
- Il periodo di tempo in cui vogliamo conoscere i tassi di interesse, ovvero T.
- Il momento del tempo in cui siamo ora o il momento iniziale che vogliamo, cioè t.
- La curva di interesse a breve termine, cioè r (T) o rT . Se volessimo esprimere i tassi di interesse nel periodo iniziale, useremmo r (T) o rT.
- In queste formule tratteremo i parametri a, b e s come costanti nel tempo.
- La deviazione standard, s.
Per calcolare il prezzo di un'obbligazione zero coupon che paga 1€ alla scadenza (T) in un qualsiasi periodo di tempo (t) dobbiamo solo dare valori ai parametri a, b e s e simulare i tassi di interesse a breve termine (r(t)).
Rappresentazione del Modello Vasicek: Prezzo Obbligazionario Zero Coupon
P (t, T) rappresenta il prezzo dell'obbligazione dal tempo t a T.
Quindi… i prezzi delle obbligazioni saranno sempre così?
Niente affatto, come dicevamo all'inizio, i tassi di interesse dipendono da un processo geometrico browniano, e quindi implicano la presenza di una componente casuale, N (0,1). Quindi, ogni volta che calcoliamo le formule di cui sopra, i tassi a breve termine cambieranno e così anche i tassi di interesse a lungo termine, i prezzi delle obbligazioni e la loro rappresentazione.
Useremo le seguenti formule per trovare r (T) e R (T).
Formula modello Vasicek: tassi di interesse a breve termine
Formula del tasso di interesse a breve termine (rT):
Formula del tasso di interesse a lungo termine (RT):
Rappresentazione del Modello Vasicek: curva dei tassi di interesse
